公開: 2024/8/30
最終更新: 2024/8/30
楠岡 成雄「Rademacher 複雑度と正則化」
§3 Rademacher 複雑度 (2)
定義 3.5.
- を の空でない部分集合とする。 を により定義する。
- を 上の確率測度とし、 を の部分集合で なるものとする。 を により定義する。
命題 3.6. を 上の確率測度、 を の空でない部分集合とする。この時、 かつ が成り立つ。特に、 が成り立つ。
証明. を独立で同分布を持つ -値確率変数でその分布を とする。この時、 となる。 に対して よって、 これより最初の主張がわかる。2 番目の主張も よりわかる。
最後の主張はこれら 2 つの主張よりわかる。
に対して を に対して により定める。
この時、次が成立する。
命題 3.7. を 上の確率測度、 を の空でない部分集合とする。任意の 及び に対して が成立する。特に、 となる。
証明. は独立同分布な確率変数列で となるものとする。この時、 を得る。
また、 となるので、最初の主張を得る。
後半は よりわかる。
命題 3.6, 3.7 より以下を得る。
命題 3.8. を 上の確率測度、 を の空でない部分集合とする。この時以下が成立する。
命題 3.9. を の空でない部分集合、 を 上の確率測度とする。また、すべての は -可積分であり、 と仮定する。この時、 が成り立つ。
証明. は -値確率変数、 は確率変数、 は独立であり、 の分布は とする。この時 である。 とおくと となる。よって、 とおくと が成り立つ。よって、命題 3.6 より これより主張を得る。
命題 3.10. を の空でない部分集合、 を 上の確率測度とする。さらに であると仮定する。この時、 が成り立つ。
証明. を で定める。この時、定義より である。 は独立な確率変数で とする。この時、 に対して よって
であるので、 がわかり、主張を得る。
注意. とすると、 となる。
命題 3.11. を の空でない有限部分集合、 を 上の確率測度とする。
- が存在して と仮定する。この時、 が成り立つ。
- が存在して と仮定する。この時、 が成り立つ。
- とし を とおく。この時、 が成り立つ。
証明. は -値確率変数、 は確率変数、 は独立であり、 の分布は とする。
まず 1. を示す。 に対して であるので、命題 2.3 の 2. より よって、 これより となる。 とおくと となり主張を得る。
主張 2. は命題 2.2 を用いて同様に示される。
主張 3. は であるので、 よりわかる。
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