§25 L’Hôpital の定理

今回は、高校数学において「検算のために使うのは良いが答案に書くのは駄目」な定理として有名な l’Hôpital の定理を取り上げたいと思います。L’Hôpital の定理の証明には、Cauchy の平均値の定理という、Rolle の定理や通常の (Lagrange の) 平均値の定理から導かれる定理が使われる事が多いのですが、ここでは微分積分学の基本定理を使った証明を与えます (そのため、本来の l’Hôpital の定理よりも若干強い仮定を置いています)。Cauchy の平均値の定理を使った議論は最後に補遺として簡単に紹介します。

L’Hôpital の定理 I

$I\subset \mathbb {R}$ を開区間として、$c\in$… 続きを読む

§23 関数に対する方程式

我々はこれまで指数関数を「指数法則を満たす連続関数」として定義し、そのような性質を持つ実数値関数が存在する事を二通りの方法で確認してきました。これは言わば「連続関数の中で指数法則を満たすようなものを求めよ」という、関数についての問題を解いているようなものです。

通常の方程式と同様に、未知の関数が満たしている何らかの関係式 (例えば指数法則 $f(x+y) = f(x)f(y),$ $^\forall x, y$ ) の事を関数方程式と呼び、その未知の関数が何であるかを求める事を「関数方程式を解く」と言います。関数方程式の中でも特に重要なものとして微分方程式と呼ばれるものがあり、これは未知関数の導関数 (及びその関数自体) が満たす等式を意味しています。指数関数の第三の構成法 (あるいは特徴付け) として、今回は微分方程式を用いた方法を紹介します。同様に、三角関数についても微分方程式の解としての特徴付けを考えてみます。

微分方程式を考える上では、その解の「存在と一意性」という概念が重要となります。その前にまず、通常の (未知の実数が満たす) 方程式を通して、解の存在と一意性とは何かを見ていきたいと思います。

方程式の解の存在と一意性

未知の実数 $x$ が満たす等式を方程式と呼び、それを満たす … 続きを読む

§22 円周率 $\pi$ に纏わるいくつかの公式

前回 §21 までの内容で、実数値関数の計算を行う上での数学的な道具が大分揃ってきました。今回はそれらを使った応用として、§21 で紹介した Leibniz の公式のような、円周率と関わりのあるいくつかの有名な公式を紹介します。

Wallis 積分

$n = 0, 1, 2, \ldots$ に対して、Wallis 積分と呼ばれる次の定積分 $$I_n = \int$$ … 続きを読む

§21 Taylor 展開と冪級数 III

引き続き冪級数に関するテーマを扱いますが、今回は具体的な初等関数の話題に焦点を当てて進めます。

前々回 §18 において、三角関数 $\cos$ と $\sin$ を冪級数によって定義しました。同様にして、今回はまず指数関数の第二の構成方法として「冪級数によって指数関数を定義する」という話から始めていきたいと思います。また、三角関数についてはまだ定義をしただけでほとんど何も性質を調べていなかったので、今回は冪級数の立場から「三角関数について良く知られている性質 (加法定理、周期性、導関数等)」を示していきます。

指数関数の構成 II

§9 によると、(標準的な) 指数関数とは以下の 3 つの性質を満たす関数 $f : \mathbb {R}$… 続きを読む

§19 関数列の収束

§16 で示した Taylor の定理と §17 で扱った級数の概念を用いて、前回 §18 は滑らかな関数の Taylor 展開を紹介しました。無限回微分可能な関数が常に Taylor 展開可能であるわけではありませんが、Taylor 展開によって関数を冪級数の形で表す事が出来ます。一方で、冪級数の形で定義される関数は常に Taylor 展開可能であり、その関数の Taylor 展開は元の冪級数と一致する (よって Taylor 展開と冪級数展開は本質的に同じものである) … 続きを読む