§25 L’Hôpital の定理

今回は、高校数学において「検算のために使うのは良いが答案に書くのは駄目」な定理として有名な l’Hôpital の定理を取り上げたいと思います。L’Hôpital の定理の証明には、Cauchy の平均値の定理という、Rolle の定理や通常の (Lagrange の) 平均値の定理から導かれる定理が使われる事が多いのですが、ここでは微分積分学の基本定理を使った証明を与えます (そのため、本来の l’Hôpital の定理よりも若干強い仮定を置いています)。Cauchy の平均値の定理を使った議論は最後に補遺として簡単に紹介します。

 

L’Hôpital の定理 I

$I\subset \mathbb {R}$ を開区間として、$c\in I$ 及び実数値関数 $f, g : I \longrightarrow \mathbb {R}$ に対して次の極限 $$\lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} \tag {1}$$ を考えます。§9 で見たように、もし $$\lim _{x\rightarrow c}f(x) = \alpha \\ \lim _{x\rightarrow c}g(x) = \beta$$ であって更に $\beta \neq 0$ であるならば次が成り立つのでした。 $$\lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta}$$ 一方、$\alpha \neq 0$ かつ $\beta = 0$ である時には (1) は収束しません。それでは、$\alpha = \beta = 0$ の時にはどうなるかというと、これらの情報からだけでは何とも言えません。

例として $c = 0,$  $g(x) = x$ の時を考えてみると、(1) は $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x}$$ となり、($f$ が原点で微分可能ならば) これは $f$ の微分係数 $f'(0)$ に一致します。ここから類推すると、もし $f, g$ が共に $c$ で微分可能であるならば (特に $c$ において連続となるので $f(c) = \alpha = 0,$  $g(c) = \beta = 0$ である事に注意して) $$\begin{align*} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{f(x) - f(c)}{g(x) - g(c)}\\ &= \frac{f(x) - f(c)}{x - c}\cdot \frac{x - c}{g(x) - g(c)}\\ &\longrightarrow \ \frac{f'(c)}{g'(c)}, \ \ x\rightarrow c \end{align*}$$ が成立すると考えられます。しかし、この計算が正しく成り立つためには以下の条件が満たされていなければなりません。

1. $f, g$ が $c$ において微分可能。
2. $\lim _{x\rightarrow c}f(x) = \lim _{x\rightarrow c}g(x) = 0$.
3. $g'(c)\neq 0$.

これらの仮定の下で $$\lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \tag {2}$$ が成立します。これが l’Hôpital の定理の元となる最も素朴な形と言えるでしょう。

例えば、度々登場している関係式 $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \tag {3}$$ は、l’Hôpital の定理 (の素朴バージョン) に基づけば $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = \frac{(\sin x)'}{x'}\Bigg|_{x=0} = \frac{\cos 0}{1} = 1$$ と計算出来る事になります¹。

同じ事を $f(x) = 2(1 - \cos x),$  $g(x) = x^2$ に対して考えてみます。この場合、$f'(0) = 0,$  $g'(0) = 0$ となってしまうので、(2) をそのまま適用する事は出来ません (条件 3 を満たしていません)。しかしながら、実は $f'(c)/g'(c)$ そのものが与えられなくとも $$\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ が存在していれば良く、今の場合は (3) を使って $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{2(1 - \cos x)}{x^2} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{2\sin x}{2x} = 1$$ と計算して良い、というのが本来の l’Hôpital の定理の主張です。

 

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証明. 仮定 3 と中間値の定理より、$g'$ は $(c, c + \delta)$ の上で常に同一符号となる。ここでは $g' > 0$ の場合についてのみ考える。この時、特に $J := [c, c + \delta / 2]$ 上で $g$ は狭義単調増大であり⁴、ゆえに $g^{-1} : g(J) \longrightarrow \mathbb {R}$ が存在して連続となる。また仮定 1 から $$^\forall x\in J: \ \ x \neq c \ \Longrightarrow \ g(x) \neq 0$$ である。

さて、$x\in J\setminus \{c\}$ に対して、(広義積分版の) 微分積分学の基本定理から $$\begin{align*} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(c)}{g(x)} = \frac{1}{g(x)}\int ^x_cf'(y)dy \tag {5} \end{align*}$$ が得られるが、更に $z = g(y)$ という変数変換をすると $$\begin{align*} \frac{1}{g(x)}\int ^x_cf'(y)dy &= \frac{1}{g(x)}\int ^x_c\frac{f'(y)}{g'(y)}\cdot g'(y)dy\\ &= \frac{1}{g(x)}\int ^{g(x)}_0h(z)dz \tag {6} \end{align*}$$ となる。ここで、$h : g(J) \longrightarrow \mathbb {R}$ は $$h(z) = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{f'\circ g^{-1}(z)}{g'\circ g^{-1}(z)} & (z \neq 0)\\ \gamma & (z = 0) \end{array} \right. \tag {7}$$ で定義される関数である。但し $\gamma$ は仮定 2 における収束先とする。ここで、$f', g'$ 及び $g^{-1}$ の連続性と仮定 2 から $h\in C(g(J))$ である。更に $$H(z) := \int ^z_0h(w)dw$$ と定めれば、(5), (6) から $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{H(g(x))}{g(x)}$$ が得られる。$g$ の連続性と単調性、及び微分積分学の基本定理から⁵ $$\lim _{x\downarrow c}\frac{H(g(x))}{g(x)} = \lim _{z\downarrow 0}\frac{H(z)}{z} = h(0) = \gamma$$ が従い、よって $$\lim _{x\downarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \gamma \tag {8}$$ が得られた。

$[c - \delta, c)$ 上でも同様にして $$\lim _{x\uparrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \gamma \tag {9}$$ が示せるので、これらを合わせて (4) を得る⁶。

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上の証明から分かる通り、定理 1 の主張は通常の極限ではなく片側極限に対しても成り立ちます。つまり、仮定 1 の下で $$g' \neq 0 \ \ \mbox {on} \ \ (c, c + \delta), \ ^\exists \lim _{x\downarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\ \Longrightarrow \ \lim _{x\downarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\downarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ であり、 $$g' \neq 0 \ \ \mbox {on} \ \ (c - \delta , c), \ ^\exists \lim _{x\uparrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\ \Longrightarrow \ \lim _{x\uparrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\downarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ です。この場合、各関数の定義域は開区間でなく $[c, b)$ や $(a, c]$ といった区間を考えるのでも構いません。

定理 1 を複数回繰り返して使う例として、次の極限を考えてみます。 $$\lim _{x\rightarrow 0}\left\{ \frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{x} \right\} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x - e^x + 1}{x(e^x-1)} \tag {10}$$ $f(x) = x - e^x + 1,$ $g(x) = x(e^x - 1)$ と置くと、これらはどちらも $C^1$-級関数であり $f(0) = g(0) = 0$ を満たします。定理 1 によれば、もし $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \tag {11}$$ が存在するならば、 (仮定 3 の成立もチェックしなければなりませんが) (10) の極限も存在してその値は (11) と一致する事が分かります。具体的に計算してみると $$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1 - e^x}{(x+1)e^x - 1}$$ となっており、分子を $\tilde {f}(x),$ 分母を $\tilde {g}(x)$ と置くとこれらも $C^1$-級ですが再び $\tilde {f}(0) = \tilde {g}(0) = 0$ となっており、まだ (11) が収束するのかどうか分かりません (しかし、幸いにも $\tilde {g}$ は原点以外で $0$ になりません)。そこで更に $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\tilde {f}'(x)}{\tilde {g}'(x)} \tag {12}$$ が収束しているかどうかを調べてみると、 $$\frac{\tilde {f}'(x)}{\tilde {g}'(x)} = \frac{-e^x}{(x+2)e^x}\ \longrightarrow \ -\frac{1}{2}, \ \ x\rightarrow 0$$ となっています ($\tilde {g}'(x)$ は $x=-2$ を除いて $0$ にならないので仮定 3 も O.K. です)。よって $\tilde {f}, \tilde {g}$ に対して定理 1 を使う事が出来て、(11) が収束して極限値が $-1/2$ に一致する事が分かり、すると再び (今度は $f, g$ に対して) 定理 1 が適用出来て、(10) も収束して極限値が $-1/2$ となる事が分かります。

もう一つ、 $$\lim _{x\rightarrow 0}\left\{ \frac{e^x}{(e^x-1)^2} - \frac{1}{x^2} \right\} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^2e^x - (e^x-1)^2}{x^2(e^x-1)^2} \tag {13}$$ を考えてみます。(13) を定理 1 によって計算するためには、分子分母の微分を何回もして定理 1 を何回も適用しないといけないので、今回は先に、分子と分母の高階導関数を、$x = 0$ の時の値が $0$ でなくなるまで計算しておきます。 $$\begin{align*} f(x) &= x^2e^x - (e^x-1)^2\\ g(x) &= x^2(e^x-1)^2 \end{align*}$$ と置くと、 $$\begin{align*} f'(x) &= x^2e^x + 2xe^x - 2(e^{2x}-e^x) \ \ &(f'(0) = 0)\\ f''(x) &= (x+2)^2e^x - 4e^{2x} \ \ &(f''(0) = 0)\\ f^{(3)}(x) &= (x^2+6x+8)e^x - 8e^{-2x} \ \ &(f^{(3)}(0) = 0)\\ f^{(4)}(x) &= (x^2+8x+14)e^x - 16e^{-2x} \ \ &(f^{(4)}(0) = -2) \end{align*}$$ 更に $$\begin{align*} g'(x) =& \ 2x(e^x-1)\{(x+1)e^x-1\} \ \ &(g'(0) = 0)\\ g''(x) =& \ 2(2x^2+4x+1)e^{2x}\\ &-2(x^2+4x+2)e^x+2 \ \ &(g''(0) = 0)\\ g^{(3)}(x) =& \ 4(2x^2+6x+3)e^{2x}\\ &- 2(x^2+6x+6)e^x \ \ &(g^{(3)}(0) = 0)\\ g^{(4)}(x) =& \ 16(x^2+4x+3)e^{2x}\\ &- 2(x^2+8x+12)e^x \ \ &(g^{(4)}(0) = 24) \end{align*}$$ が得られます⁷。そうすると、(細かな仮定のチェックは省略しますが) 定理 1 (あるいは (2)) からまず $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)} = \frac{f^{(4)}(0)}{g^{(4)}(0)} = -\frac{1}{12}$$ が従い、再び定理 1 を使って $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)} = -\frac{1}{12}$$ となり、更に定理 1 から $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f''(x)}{g''(x)} = -\frac{1}{12}$$ が得られ、もう一度定理 1 を適用して $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = -\frac{1}{12}$$ に辿り着きます。従って (13) は $-1/12$ に収束する事が、l’Hôpital の定理を 4 回使って示されました。

少し脱線しますが、ここで (10) と (13) を別の観点から見直してみます。まず (10) について、 $$\sum ^\infty _{k=1}e^{-kx} = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{1}{e^x-1}$$ である事に注意すると、上の計算から $$\sum ^\infty _{k=1}e^{-kx} - \frac{1}{x} \ \longrightarrow \ -\frac{1}{2}, \ \ x\rightarrow 0 \tag {14}$$ である事が分かります。ここで $$R(x) = \sum ^\infty _{k=1}e^{-kx} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$$ と定めれば、(14) は $R(x) \longrightarrow 0,$  $x\rightarrow 0$ を意味しています。これを $$\sum ^\infty _{k=1}e^{-kx} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} + o(1), \ \ x\rightarrow 0\tag {15}$$ と表す事にします。ここで $o(1)$ というのは「$x\rightarrow 0$ とすれば $0$ に収束するような何らかの関数」を意味する記号で、Landau のスモール・オーと呼ばれるものです。「関数 $o(x)$ の $x=1$ における値」という意味ではありません。とりあえずのところは、(15) は $$\sum ^\infty _{k=1}e^{-kx} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} + (\mbox{$0$ に収束する関数}), \ \ x\rightarrow 0$$ という意味だと思って問題ありません。

同様に、(13) について $$\sum ^\infty _{k=1}ke^{-kx} = \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} = \frac{e^x}{(e^x-1)^2}$$ に注意すると、上の計算は $$\sum ^\infty _{k=1}ke^{-kx} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{12} + o(1), \ \ x\rightarrow 0 \tag {16}$$ を意味しています。

(15) や (16) において、$x$ が $0$ に限りなく近い時に両辺はどのようになっているのか ($e^{-kx}\approx 1$ という事は…) 別の機会に考察したいと思います。

 

L’Hôpital の定理 II

定理 1 は、$f(x)/g(x)$ が $x\rightarrow c$ の時に所謂「$0/0$ 不定形」となる場合に使える定理でしたが、l’Hôpital の定理は所謂「$\infty /\infty$ 不定形」の時にも使う事が出来ます。つまり、 $$\lim _{x\rightarrow c}f(x) = \lim _{x\rightarrow c}g(x) = \infty \tag {17}$$ である場合にも、定理 1 の仮定 2, 3 の下で (4) の主張を示す事が出来ます。

 

 

定理 1 の証明は、微分積分学の基本定理と置換積分によって $$\lim _{z\rightarrow 0}\frac{1}{z}\int ^z_0h(y)dy$$ の極限の導出に帰着されていました。定理 2 でも同様の計算を行うと、最終的に $$\lim _{z\rightarrow \infty}\frac{1}{z}\int ^z_ah(y)dy$$ あるいは同じ事ですが $$\lim _{z\rightarrow \infty}\frac{1}{z-a}\int ^z_ah(y)dy$$ のような極限を求める事になると予想されます (但し $a\in I$ は適当な点)。そのためにまず次の命題を用意しておきます。

 

 

命題 1 の主張は、良く見ると §5 で紹介した数列の Cesàro 平均 $$\lim _{n\rightarrow \infty}a_n = \alpha \ ⟹ \ \lim _{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum ^n_{k=1}a_k = \alpha$$ に似ています。それならば、積分範囲を「有界な区間」と「$f(x)$ が十分 $\alpha$ に近くなるような、$x$ が大きな値となる区間」に分けて、イプシロン・デルタ論法を使って示してやるのが筋が良さそうです。

 

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証明. 任意の $\varepsilon > 0$ を取ると、仮定よりある $M \geq a\vee 0$ が存在して $$x \geq M \ \Longrightarrow \ |f(x) - \alpha | < \varepsilon$$ が成立している。また $f$ の連続性から $$K := \sup _{x\in [a, M]}|f(x)| < \infty$$ である。そこで $$L = M\left(1 + \frac{K+|\alpha |}{\varepsilon }\right) + a\vee 0$$ とすれば、$x > L$ の時 $$\begin{align*} &\left|\frac{1}{x-a}\int ^x_af(y)dy - \alpha \right| \\ &\leq \frac{1}{x-a}\int ^x_a|f(y) - \alpha |dy\\ &\leq \frac{1}{x-a}\int ^M_a|f(y) - \alpha |dy + \frac{1}{x-a}\int ^x_M|f(y) - \alpha |dy\\ &\leq \frac{(K+|\alpha |)(M-a)}{x-a} + \frac{x-M}{x-a}\cdot \varepsilon \\ &< \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon \end{align*}$$ が成り立つ。よって題意は示された⁸。

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定理 2 の証明. 仮定 1 より、$x$ が $c$ に十分近ければ $f(x), g(x)$ は共に正の値となる。特に、ある $0 < \delta _0 < \delta$ が存在して、$J := (c, c + \delta _0]$ の上では $f, g > 0$ となり、更に $g' < 0$ となる。そこで、定理 1 と同様にして、$g(J)$ 上において関数 $h$ を (7) と同様に $$h(z) = \frac{f'\circ g^{-1}(z)}{g'\circ g^{-1}(z)}$$ で定義する⁹。仮定 1, 2 より、$g(J) = [g(c+\delta _0), \infty )$ であり $h$ は連続かつ $\lim _{z\rightarrow \infty}h(z) = \gamma$ を満たしている。ここで $\gamma$ は仮定 2 の収束先である。

さて、$x_0\in J$ を適当に取り、$x\in (c, x_0)$ に対して $$\begin{align*} \Delta (x) &= \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)}\\ \Xi (x) &= \frac{1-g(x_0)/g(x)}{1-f(x_0)/f(x)} \end{align*}$$ と定める。すると $$\begin{align*} \frac{f(x)}{g(x)} &= \Delta (x)\cdot \frac{\frac{f(x)}{f(x) - f(x_0)}}{\frac{g(x)}{g(x) - g(x_0)}}\\&\\ &= \Delta (x)\cdot \frac{\frac{g(x) - g(x_0)}{g(x)}}{\frac{f(x) - f(x_0)}{f(x)}}\\ &= \Delta (x)\Xi (x) \end{align*}$$ が成立している。この時、まず仮定 1 より $$\lim _{x\downarrow c}\Xi (x) = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$$ が従う。また定理 1 の証明と同様の計算から $$\Delta (x) = \frac{1}{g(x) - g(x_0)}\int ^{g(x)}_{g(x_0)}h(z)dz$$ となるが、$\lim _{x\downarrow c}g(x) = \infty$ である事に注意して、命題 1 を使って $$\lim _{x\downarrow c}\Delta (x) = \lim _{z\rightarrow \infty}\frac{1}{z - g(x_0)}\int ^z_{g(x_0)}h(w)dw = \gamma$$ が得られる。以上により $$\lim _{x\downarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \gamma \cdot 1 = \gamma$$ が示された。同様にして $$\lim _{x\uparrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \gamma$$ が得られるので、これらから (4) が従う。

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なお定理 1 と同様、定理 2 においても $x\rightarrow c$ を片側極限 $x\uparrow c$ あるいは $x\downarrow c$ に置き換えられる事 (その場合、$I$ を $[c, b)$ や $(a, c]$ としても良い事) を付言しておきます。また定理 2 では $f, g$ が $c$ においてどちらも $\infty$ に発散する場合を扱いましたが、$-f$ や $-g$ に置き換えて考えれば、$f$ や $g$ がそれぞれ $\pm \infty$ のいずれかに発散している場合でも同様の主張が得られる事もすぐに分かります。

 

L’Hôpital の定理 III

定理 1, 2 では $x$ を何らかの実数 $c$ に近付けた時の極限を対象としていましたが、l’Hôpital の定理は $x\rightarrow \pm \infty$ のケースにも適用する事が出来ます。やはり $f(x)/g(x)$ の極限が「$0/0$ 不定形」の場合と「$\infty /\infty$ 不定形」の場合がありますが¹⁰、ここではまず前者の場合を見てみたいと思います。

 

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証明. $g'(x) > 0,$  $x \geq M$ として一般性を失わない¹²。広義積分に対する微分積分学の基本定理より $$f(x) = -\int ^\infty _{x}f'(y)dy, \ \ x\in I$$ が成り立つ事に注意して、$x\geq M$ に対して定理 1 の証明と同様に (但し広義積分に対する置換積分を使って) $$\begin{align*} \frac{f(x)}{g(x)} = -\frac{1}{g(x)}\int ^0_{g(x)}h(z)dz = \frac{1}{g(x)}\int ^{g(x)}_0h(z)dz \end{align*}$$ を得る。ここで $h$ は (7) で定義される関数である ($\gamma$ は仮定 2 の極限値)。やはり微分積分学の基本定理から¹³ $$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{z\rightarrow 0}\frac{1}{z}\int ^z_0h(y)dy = \gamma$$ が得られ、(18) が示された。

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定理 1 と違って定理 3 は非有界区間における広義積分が登場しますが、本質的には定理 1 と同じく $h$ に対する微分積分学の基本定理が機能しています。

もう一つの証明方法として、 $$\tilde {f}(x) := \left\{ \begin{array}{cl} f(1/x) & (x\neq 0)\\ 0 & (x = 0) \end{array} \right., \ \ \ \ \tilde {g}(x) := \left\{ \begin{array}{cl} g(1/x) & (x\neq 0)\\ 0 & (x = 0) \end{array} \right.$$ として $\tilde {f}, \tilde {g}$ に定理 1 を用いる、という事も考えられます。実際、上のように定義すると $\tilde {f}, \tilde {g}$ は $0$ において右連続になっている上に $$\lim _{x\downarrow 0}\frac{\tilde {f}'(x)}{\tilde {g}'(x)} = \lim _{x\downarrow 0}\frac{f'(1/x)}{g'(1/x)} = \lim _{y\rightarrow \infty}\frac{f'(y)}{g'(y)}$$ という関係があり、また $$\tilde {g}'(x) = -\frac{1}{x^2}g'\left(\frac{1}{x}\right) \neq 0, \ \ x\neq 0$$ であるので、$c = 0$ として定理 1 を適用する事が出来ます。

なお、定理 3 の主張は極限を取る方向を $x\rightarrow -\infty$ としても成り立ちますが、証明はほとんど同じなので (あるいは $f(-x)$ や $g(-x)$ を考えれば良いので) 省略します。

 

L’Hôpital の定理 IV

最後に、「$\infty /\infty$ 不定形」かつ「$x\rightarrow (\pm) \infty$」の場合の l’Hôpital の定理を見ておきます。

 

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証明. 適当な $x_0\geq M$ を取り、定理 2 の証明と同様に $h, \Delta, \Xi$ を定めると、 $$\begin{align*} \frac{f(x)}{g(x)} = \Delta (x)\Xi (x)\ \ x\geq M \end{align*}$$ が得られる。仮定 1 から明らかに $$\lim _{x\rightarrow \infty}\Xi (x) = 1$$ であり、また定理 2 と同様にやはり命題 1 を使って $$\begin{align*} \lim _{x\rightarrow \infty}\Delta (x) &= \lim _{z\rightarrow \infty}\frac{1}{z-g(x_0)}\int ^z_{g(x_0)}h(y)dy\\ &= \lim _{z\rightarrow \infty}h(z) = \lim _{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} \end{align*}$$ が成り立つ事が分かる。以上により題意は示された。

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定理 4 の証明は本質的に定理 2 の時と同様であり、微分積分学の基本定理 (不定積分の微分) ではなく命題 1 (Cesàro 平均の積分版) がポイントとなっています。また、定理 3 と同様に、$f(1/x),$  $g(1/x)$ を考えて定理 2 に帰着させる、という証明方法も考えられます。

定理 2, 3 と同様、定理 4 において極限を取る方向を $x\rightarrow -\infty$ とした場合や、$f,g$ が $-\infty$ に発散する場合等のバリエーションが考えられますが、証明は省略します。

 

L’Hôpital の定理の条件

冒頭で言及した通り、l’Hôpital の定理は高校数学において良く「記述試験の答案で使ってはいけない」と言われています。その理由の一つとして「高校の学習指導要領に含まれていない」という事もあるのかもしれませんが、もう一つ「必要な仮定が多く、それらを満たしていない時に反例が存在する (よって条件を気にせず安易に $\lim f/g = \lim f'/g'$ と考えてはいけない)」という点も大きいかもしれません。

これまでに示してきた定理 1～4 それぞれにおける 3 つの仮定は、大雑把に言って以下のようにまとめる事が出来ます。

1. $f/g$ の極限が不定形である
2. $f'/g'$ は (不定形であってもなくとも) 収束している
3. $g'$ が $0$ ではない

これらの仮定を全て満たしていなければ、l’Hôpital の定理を使う事は出来ません。以下、それぞれについて反例を紹介します。

 

$f/g$ の極限が不定形でない場合

例えば $f(x) = x^2 + 1,$  $g(x) = x + 2$ で $c = 0$ の場合、定理 1 を使って $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^2+1}{x+2} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{2x}{1} = 0 \ \ (??)$$ としたくなるかもしれませんが、勿論これは間違いであり、正しくは $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^2+1}{x+2} = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$$ です。$\lim f'/g'$ が存在したからと言って、それが必ず $\lim f/g$ に一致するとは限りません。

また、仮定 1 は「極限が不定形である」と言っているのであって、「『$f$ の極限』割る『$g$ の極限』で計算出来なければ良い」と言っているわけではありません。例えば $f(x) = \sin x,$  $g(x)=2 + \sin x$ で $x\rightarrow \infty$ の極限を考える場合、定理 2 あるいは定理 4 から $$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{\sin x}{2 + \sin x} = \lim _{x\rightarrow \infty}\frac{\cos x}{\cos x} = 1 \ \ (??)$$ としたくなるかもしれませんが、実際には $$\frac{\sin x}{2 + \sin x} = 1 - \frac{2}{2 + \sin x}$$ は $x\rightarrow \infty$ で収束せず、$[-1, 1/3]$ の範囲で振動しています。

 

$f'/g'$ が収束していない場合

次に、$f(x) = x + \sin x,$  $g(x) = x$ という例を考えてみます。この時、 $$\lim _{x\rightarrow \infty}f(x) = \lim _{x\rightarrow \infty}g(x) = \infty$$ となるので、$f/g$ の $x\rightarrow \infty$ における極限は不定形となっています。そこで定理 4 を使おうとすると $$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{x + \sin x}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty}\frac{1 + \cos x}{1} = \ ??$$ となってしまい、$f'/g'$ は $[0, 2]$ の範囲で振動しており収束しません。それでは $f/g$ の極限も振動しているかというとそんな事は無く、 $$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{x + \sin x}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty}\frac{1 + \sin x/x}{1} = 1$$ となってきちんと収束しています。この場合には l’Hôpital の定理の主張は成り立ちません。

一方、上と同じ $f, g$ に対して $x\rightarrow 0$ の下で極限を取る事を考えると、この場合には $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim _{x\rightarrow \infty}\frac{1+\cos x}{1} = \frac{1+1}{1} = 2$$ となり、これは $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1 + 1 = 2$$ と一致しています。この場合には定理 1 の仮定が全て満たされているので ($f(0) = g(0) = 0$ に注意)、l’Hôpital の定理を使う事が出来るのです。

 

$g' \neq 0$ とならない場合

以下は Stolz の反例として知られているものです。 $$\begin{align*} f(x) &= x + \cos x\sin x\\ g(x) &= e^{\sin x}(x + \cos x\sin x) = e^{\sin x}f(x) \end{align*}$$ この時、 $$\lim _{x\rightarrow \infty}f(x) = \lim _{x\rightarrow \infty}g(x) = \infty$$ なので、$f/g$ の極限は確かに不定形となっています。一方、 $$f'(x) = 1 - \sin ^2x + \cos ^2x = 2\cos ^2x$$ であり、また $$\begin{align*} g'(x) &= e^{\sin x}(f'(x) + f(x)\cos x)\\ &= e^{\sin x}\{x+(2+\sin x)\cos x\}\cos x \end{align*}$$ となるので、 $$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim _{x\rightarrow \infty}\frac{2\cos x}{e^{\sin x}\{x+(2+\sin x)\cos x\}} = 0$$ が成立しています。しかし $$\frac{f(x)}{g(x)} = e^{-\sin x}$$ であり、これは $[e^{-1}, e]$ の範囲で振動するので、$x\rightarrow \infty$ の下で収束せず、$f'/g'$ の極限値とも一致しません。よって定理 4 の主張はこの例に対しては成り立ちません。今の場合、どんなに $M$ を大きく取ったとしても、$g'(x) = 0$ となるような $x \geq M$ が常に存在するために、l’Hôpital の定理の 3 番目の仮定が満たされていない事が原因となっています。

 

まとめ

今回は l’Hôpital の定理に焦点を当てて、

• $0/0$ 不定形、$x\rightarrow c\in \mathbb {R}$
• $0/0$ 不定形、$x\rightarrow \pm \infty$
• $\infty/\infty$ 不定形、$x\rightarrow c\in \mathbb {R}$
• $\infty/\infty$ 不定形、$x\rightarrow \pm \infty$

の 4 通りについて見て来ました。今回は各定理の 2 つ目の仮定として「$f'/g'$ が収束する」という条件を考えましたが、実は (その他の適当な仮定の下で) $$\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty \ ⟹ \ \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} = \infty \tag {19}$$ のようなタイプの l’Hôpital の定理も存在します。(19) のような定理がやはり「$0/0$ 不定形 or $\infty /\infty$ 不定形」「$c\in \mathbb {R}$ or $c = \pm \infty$」の各々の場合に言えるので、l’Hôpital の定理のバリエーションは本当に豊富と言えます。

今回は各定理の証明において「微分積分学の基本定理 (基本公式)」と「変数変換 $g(y) = z$」を用い、更に「微分積分学の基本定理 (不定積分を微分すると元の関数に戻る)」あるいは「Cesàro 平均の積分版」を使って定理の主張を導きましたが、多くの文献では Cauchy の平均値の定理と呼ばれる事実を用いて示すのが一般的です。Cauchy の平均値の定理及びそれを使った l’Hôpital の定理の証明方法について、補遺としてまとめておきます。

 

補遺: Cauchy の平均値の定理

まず、Cauchy の平均値の定理の礎となる Rolle の定理と平均値の定理を紹介します。これらは §14 の補遺において名前だけ登場しましたが、定理のステートメントや証明は扱いませんでした。

 

 

Rolle の定理の主張は、直観的に言えば「端点 $a, b$ で値の等しい微分可能な関数は、常に値が端点の時と等しい定数関数であるか、そうでなければ区間上のどこかで極値を迎えている」という事です。証明は、§14 の補遺で与えた (§14 の) 命題 1 の証明と同様であり、$g(x) = f(x) - f(a)$ として同じ議論を適用すれば、

• $g\in C([a, b])$ が最大値を取るような $c\in (a, b)$ が存在して $g'(c) = 0$
• $g\in C([a, b])$ が最小値を取るような $c\in (a, b)$ が存在して $g'(c) = 0$
• $g$ は $[a, b]$ 上で常に $0$

のいずれかが成立する事が分かります (詳細は省略します)。

 

 

通常、定理 6 を単に平均値の定理と呼びますが、Cauchy の平均値の定理等と区別するために Legendre の平均値の定理と呼ぶ事もあります。定理 6 は、§14 の命題 1 の証明で与えた $g$ つまり $$g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\cdot (x-a) - f(a)$$ に対して Rolle の定理を使えば得られます。直観的に言えば、$xy$-平面における $y = f(x)$ のグラフにおいて、$(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ線分と傾きが一致するような点 $c$ が $a$ と $b$ の間のどこかにある、という事です。線分の傾きを $0$ (つまり $x$ 軸と平行) にした時が Rolle の定理です。

 

 

定理 7 の証明は、 $$h(x) = (g(b) - g(a))f(x) - (f(b) - f(a))g(x)$$ に対して定理 5 を使えば得られます。なお $g(a)\neq g(b)$ は、$g'\neq 0$ という仮定と定理 6 から従います¹⁴。

(21) は l’Hôpital の定理の主張 (4) にかなり近付いてきているように感じられるかと思います。実際、定理 7 から定理 1 の証明を以下のように与えられます。

 

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定理 1 の証明. $(a_n)_n\subset I\cap (c, c+\delta )$ を $a_n\downarrow c,$ $n\rightarrow \infty$ なる任意の数列とする。この時、$(c, a_n)$ 上で定理 7 を適用すれば $$\frac{f(a_n)}{g(a_n)} = \frac{f'(c_n)}{g'(c_n)} \tag {22}$$ なる $c_n\in (c, a_n)$ が各 $n$ について存在する事が分かる。また挟み撃ちの定理から $\lim _nc_n = c$ であるので、仮定 2 より (22) の右辺は $(c_n)_n$ に依存しない値 ($\gamma$ と表す) に収束する。よって (22) の左辺も収束。$(a_n)_n$ は任意であったので、これで (8) が示された。(9) も同様にして示されるので、(4) も得られる。

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本編の証明と異なり、上の証明では $f', g'$ の連続性を使わずに (4) が示されています。

定理 1 以外のパターンのものについても全て定理 7 を用いて示す事が出来ます。$\infty/\infty$ 不定形のパターンの時は定理 2 と同じように $\Delta, \Xi$ を定義し、$\Delta$ の方に定理 7 を使えば良いです。$x\rightarrow \pm \infty$ のパターンでは $(a, \infty)$ のような無限区間で定理 7 を使いたくなるところですが、そういうわけにはいかないので、以下のようにイプシロン・デルタ論法等を使ってもう少し丁寧に考えます (本文の定理 3, 4 の直後で触れているのと同様、$f(1/x),$  $g(1/x)$ に対して $x\downarrow 0$ に関する l’Hôpital の定理を適用するのでも構いません)。

 

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定理 3 の証明. 任意の $\varepsilon > 0$ を取る。仮定 2 の収束先を $\gamma$ と書くと、仮定よりある $L \geq M$ が存在して $$c \geq L \ \Longrightarrow \ \left|\frac{f'(c)}{g'(c)} - \gamma \right| < \varepsilon \tag {23}$$ が成り立つ。

次に任意の $L \leq x < y$ を取り、$(x, y)$ 上で定理 7 を適用すると、ある $c\in (x, y)$ が存在して $$\frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$ が成立する事が分かる。これと (23) から $$\left|\frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} - \gamma \right| < \varepsilon$$ が成り立つので、$y\rightarrow \infty$ として、仮定 1 から $$\left|\frac{f(x)}{g(x)} - \gamma \right| < \varepsilon$$ を得る。これが任意の $x \geq L$ に対して成り立つので、 $$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \gamma$$ である事が示された。

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定理 4 の証明. 任意の $\varepsilon > 0$ を取り、$\gamma$ と $L$ を (23) が成り立つように与える。次に任意の $x > L$ に対して $\Delta , \ \Xi$ を定理 2 の証明と同様に (但し $x_0$ を $L$ に置き換えて) 定義する。そして $(L, x)$ 上で定理 7 を適用すると、ある $c\in (x, y)$ が存在して $$\Delta (x) = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$ が成立するので、(23) から $$\left|\Delta (x) - \gamma \right| < \varepsilon , \ \ x > L$$ が得られる。また $\lim _{x\rightarrow \infty}\Xi (x) = 1$ ゆえ、ある $L' > L$ が存在して $$x \geq L' \ \Longrightarrow \ |\Xi (x) - 1| < \varepsilon$$ が成り立つ。よって $$\begin{align*} \left|\frac{f(x)}{g(x)} - \gamma \right| &= \left|\Delta (x)\Xi (x) - \gamma \right|\\ &= \left|\Delta (x) - \gamma \right| + |\Delta (x)|\cdot |\Xi (x) - 1|\\ &< \varepsilon + (|\gamma | + \varepsilon )\varepsilon , \ \ x \geq L' \end{align*}$$ を得る。これは $$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \gamma$$ を意味している。

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1. 三角関数の導入の仕方によってはこれは循環論法となってしまいますが、我々の立場では何も問題ありません。↩
2. $f, g\in C^1(I)$ でも良いのですが、証明において実は $f'(c), g'(c)$ の存在は使われていません。↩
3. $^\exists g'(c) \neq 0$ まで仮定すると、($f'(c) = \lim _{x\rightarrow c}f'(x)$ と自然に考えられるので) (2) の素朴バージョンに帰着されます。なお、必要であれば $I$ を小さく取り直せば良いので、最初から仮定 3 を $g'(x) > 0,$  $x\in I\setminus \{c\}$ としてしまっても問題ありません。↩
4. §21 の脚注 7 も参照して下さい。↩
5. 微分積分学の基本定理を使った議論ですが、§14 の定理 3 では、被積分関数の定義域の端点における微分を考えておらず、定義域の内側にあたる開区間でしか「積分の微分」を調べていませんでした。しかしそれは「片側微分」という概念を持ち出すのを避けようとしたのが理由であって、 $$\left|\frac{1}{z}\int ^z_0h(w)dw - h(0)\right| \leq \sup _{0\leq w\leq z}|h(w) - h(0)| \ \longrightarrow \ 0, \ \ z\downarrow 0$$ は問題無く成立しています。なお、$g' < 0$ の場合には $z\downarrow 0$ の部分が $z\uparrow 0$ に変わります。↩
6. きちんと示していませんでしたが、$x\downarrow c$ と $x\uparrow c$ の両方で同じ値に収束する場合、$x\rightarrow c$ の下でも同じ値に収束する事が分かります。今の場合、任意の $\varepsilon > 0$ に対して (8) から $$^\exists \delta _1 \in (0, \delta) \ \ \mbox {s.t.} \ \ c < x < c + \delta _1 \ \Longrightarrow \ \left|\frac{f(x)}{g(x)} - \gamma \right| < \varepsilon$$ が、(9) から $$^\exists \delta _2 \in (0, \delta) \ \ \mbox {s.t.} \ \ c - \delta _2 < x < c \ \Longrightarrow \ \left|\frac{f(x)}{g(x)} - \gamma \right| < \varepsilon$$ が得られているので、$\delta _3 = \delta _1\wedge \delta _2$ とすれば $$0 < |x - c| < \delta _3 \ \Longrightarrow \ \left|\frac{f(x)}{g(x)} - \gamma \right| < \varepsilon$$ が言えます。↩
7. 微分計算の良い練習にもなるかもしれませんが、面倒ならばコンピューターで自動微分してしまう、という方法も…↩
8. この証明は §5 の時よりも少し複雑に見えるかもしれませんが、実質的に同じ事をしています。Cesàro 平均の時は数列の初項が $a_1$ から始まっていたのに対して上の積分の下端は $a$ であり、その分だけ定数 $L$ 等の取り方が複雑になっていますが、本質的な問題ではありません。$1/(x-a)$ を $1/x$ 等に置き換えてから示す事も考えられます。但しその場合は $$\alpha = \frac{x}{x-a}\alpha - \frac{a}{x-a}\alpha$$ の右辺第二項を別途考えてやる必要があります (勿論 $x\rightarrow \infty$ の下で $0$ に収束します)。↩
9. 定理 1 では $x = c$ の時が $h(0) = \gamma$ に対応していたのに対して、今の場合は $0\in g(J)$ となる事はありません。↩
10. 更に言えば後者は $$\frac{\infty}{\infty}, \ \ \frac{-\infty}{\infty}, \ \ \frac{\infty}{-\infty}, \ \ \frac{-\infty}{-\infty}$$ の 4 通りに分かれますが、本文のすぐ上で触れている通り、これらに本質的な違いはありません。↩
11. 脚注 3 と同様、最初から $I$ 上で常に $g' \neq 0$ としてしまっても構いません。↩
12. 定理 1 と同様に、中間値の定理から $g'$ の符号は $[M, \infty)$ 上で「常に正」か「常に負」となります (§12 で注意したように、「$[M, \infty)$ 上で中間値の定理を適用する」のではありません)。$g'(x) < 0,$  $x\geq M$ の時も同じように示せるので省略する、という意味です。↩
13. $g^{-1}|_{[M, \infty)}$ は負値の関数となる事に注意しましょう。実際、$g$ は $[M, \infty)$ で狭義単調増大なので、仮定 1 と合わせると $g(M) < 0$ となっていなければなりません。また $g|_{[M, \infty)}$ の逆関数の定義域は $[g(M), 0)$ です。今の場合も微分積分学の基本定理は問題無く成立します (脚注 5 と同様の計算が出来ます)。↩
14. $g'$ の連続性を仮定していないので、中間値の定理を使った議論は適用出来ません。↩