§10 連続関数の性質 I

今回の目標は、分数冪関数や指数関数等、これまで話題に挙がった事のある初等関数を厳密に構成する (ための準備をする) 事です。そのためにまず、実数値連続関数に関するある重要な定理を示します。

中間値の定理

閉区間 $I = [a, b]$ 上で定義された実数値連続関数 $f : I \longrightarrow \mathbb {R}$ を考えます¹。すると $f$ は、… 続きを読む

§9 関数に対する極限と連続性 II

前回に引き続き、関数の連続性についての基本事項を見ていきます。前回 §8 の最後にも触れた通り、§3 で扱った数列の極限に関する基本性質は関数に対してもほぼそのまま適用出来るので、それを使えば「連続関数の和は連続関数」等の基本的な性質を示す事が出来ます。まずは本論に入る前に、証明を先送りにしていた §7 の命題 4 と §8 の命題 1 を示します。

$\lim _{n\rightarrow \infty}a_n = \alpha$ の否定

§7 でも一言触れたように、… 続きを読む

§8 関数に対する極限と連続性 I

今回から、実数空間 $\mathbb {R}$ (あるいはその部分集合) 上で定義された実数値関数に対して焦点を当てて見ていきたいと思います。まずは関数の表し方や初等的な関数の紹介をし、その後、数列ではなく「実数をある実数に近付ける」という意味での極限の概念について解説します。多くの初等的な関数は (適当な集合の上で) 連続 (あるいは更に滑らか) になっていますが、直観的なイメージでは「$xy$-平面上に描画したグラフが途切れる事無く繋がっている」と考えられる関数の連続性は、厳密には上のような極限の概念を使って、イプシロン・デルタ論法を使って定義される事となります。

実数値関数

実数空間 $\mathbb {R}$ 内の空でない適当な部分集合 $I\subset \mathbb {R}$ を 考えます。ここで、集合の包含関係の記号 … 続きを読む

§6 実数の性質 I

今回は §4 で扱った数列の極限と関連して、実数空間に要請される公理、特に実数の連続性に触れながら、実数の基本的な性質について解説していきたいと思います。

実数の公理

既に §4 でも触れた事ですが、そもそも「実数とは何か」という問いに対して、現代数学では「以下の性質を満たすような集合 $\mathbb {R}$ (の元)」というのが大まかな答えになります。

1. 「$0$ で割る」以外の加減乗除が自由に出来る
2. 任意の 2 つの元に対して順序 (大きさ) の比較が出来る
3. 数直線上において実数は隙間無くギッシリ詰まって存在している

§5 数列の極限 IV

引き続き数列の極限に関するトピックです。今回は §1 で触れた Cesàro 平均について解説します。特に、今回は「どうやって証明を与えれば (考えれば) 良いか」という発想のプロセスに対して焦点を当ててみます。

Cesàro 平均

次の定理を示す事が今回の最初の目標です。

§4 数列の極限 III

前回から引き続き数列の極限に関するトピックです。今回は、§1 でもご紹介した Napier 数に焦点を当ててみたいと思います。

はじめに: 再投資と複利効果

数理ファイナンスを意識した例…という事で、今「年率利回り $r\times 100\%$ の安全資産」への投資を考えてみます。例えば、$r = 0.05$ ならば年率利回り $0.05\times 100\% = 5\%$ といった具合です¹… 続きを読む

※弊所 web site メンテナンスのため今回の更新が大変遅くなってしまった事をお詫び申し上げます。

§3 数列の極限 II

前回は数列の収束や発散等の定義を与えた上で、実際にいくつかの数列についてその極限の振る舞いを定義に従って調べてみました。今回はまず、数列の極限を調べる際に有用な「直観的には明らかな性質」をいくつか紹介します。

極限の加減乗除

いきなりですが、以下の命題が成り立ちます。

§2 数列の極限 I

数列の収束

$(a_n)_{n\in \mathbb {N}}\subset \mathbb {R}$ を実数列とします。 §1 で触れたように、$(a_n)_n$ がある実数 $\alpha$ に収束する、即ち $\lim _{n\rightarrow \infty }a_n = \alpha$ であるとは以下が成り立つ事を意味します。 … 続きを読む

§1 はじめに

ここでは通常大学 (理工系) 初年度で学習するような、現代数学の初歩となる初等解析学、所謂微分積分学について解説をしてみたいと思います。

数理ファイナンスや金融工学においては様々な数学的理論が用いられますが、その基礎となるのはやはり現代の基礎数学と言える「微分積分」と「線形代数」です。例えば標準的 (古典的) なポートフォリオ理論において、投資対象となる金融資産のリスク・リターンの構造をベクトルや行列で表すのが普通であり、それらに対する「適切な (最適な) 投資比率」を決定するために解析学における様々な道具を活用する事が出来ます。更には、Black–Scholes の公式で有名な金融派生商品 (デリバティブ) の価格付け理論においては確率解析 (確率過程論) という理論が本質的に使われているのですが、その全ての基礎にあるのが初等解析学と言えます¹。

微分積分学という名称で呼ばれる位ですので、そこで論じられる対象は「微分」と「積分」が主となります。しかし、高校数学でも微分や積分は既に (多かれ少なかれ) 扱われていると思います。現代数学における (初等的な) … 続きを読む

§0 記号について

本講座で用いる記号 (notation) についてここでまとめておきたいと思います。最初に通して読むのではなく、必要に応じて適宜振り返って参照していただければ十分です。どれも一般的な記法ですので、必要に応じて他の文献もご参照いただけますと幸いです。

論理記号

• $^\forall$ は「任意の」という意味です。例えば $^\forall x\in \{1, \ldots, 10\}$