§19 関数列の収束

§16 で示した Taylor の定理と §17 で扱った級数の概念を用いて、前回 §18 は滑らかな関数の Taylor 展開を紹介しました。無限回微分可能な関数が常に Taylor 展開可能であるわけではありませんが、Taylor 展開によって関数を冪級数の形で表す事が出来ます。一方で、冪級数の形で定義される関数は常に Taylor 展開可能であり、その関数の Taylor 展開は元の冪級数と一致する (よって Taylor 展開と冪級数展開は本質的に同じものである) という事実があり、前回は結果のみ簡単に触れました。それをきちんと証明する準備も兼ねて、今回は「添え字付きの (可算個の) 関数達が作る列」を考え、その性質について見ていきます。

各点収束と一様収束

§18 において、所与の数列 $(a_n)_{n=0, 1, 2, \ldots}$ に対して定義される冪級数 $$p(x) := \sum ^\infty _{n=0}a_nx^n \tag {1}$$ を紹介しました。これは実数 $x$ を与える毎に数列 $(a_nx^n)_{n=0, 1, 2, \ldots}$ が与える級数として定義されるものであり、収束半径を $R\in [0, \infty]$ とすると、$|x| < R$ である限りこの級数は絶対収束しているのでした。

級数とは部分和の極限として定義される事を思い出すと、(1) で与えられる $p(x)$ とは、 $$p_n(x) := \sum ^n_{k=0}a_kx^k \tag {2}$$ の $n\rightarrow \infty$ とした時の極限に相当します。これは「各 $x$ を固定した上で、実数列 $(p_n(x))_{n}$ の極限を取る」という考え方ですが、一方で (2) で与えられる $p_n(x)$ はこれ自体もまた $x$ に関する実数値関数 (もっと言うと多項式) になっています。つまり、実数値関数が定める列 $(p_n)_{n} = \{p_0, p_1, p_2, \ldots\}$ を考えて、冪級数 $p$ をその極限として特徴付ける事が出来そうです。

繰り返しとなりますが、(1) の冪級数が収束するような $x$ 全体を $I (\supset (-R, R))$ と表す時、次が成り立っていたのでした。 $$^\forall x\in I: \ \lim _{n\rightarrow \infty }p_n(x) = p(x)$$ このような、$x$ 毎の関数列の収束を各点収束 (pointwise convergence) と呼びます。

冪級数の場合を離れて、今度はより一般の実数値関数列 $(f_n)_n$ を考えてみましょう¹。ここで、関数の定義域 $I$ は各 $n$ について共通の区間であり、更に各 $f_n$ は全て $I$ 上で連続であるとします。すると、各 $n$ について $f_n\in C(I)$ であり、$\{f_n\}_n$ は $C(I)$ の部分集合とみなす事が出来ます。冪級数の場合と同様にして、各点収束の定義を以下のように与えます。

上の定義において、$(f_n)_n$ の極限を与える関数 $f$ には連続性を仮定しませんでした。これは、たとえ $f_n$ が任意の $n$ において $I$ 上で連続であったとしても、極限が連続とはならない場合があるからです。簡単な例として、$I = [0, 1]$ として $f_n(x) = x^n$ の場合を考えてみましょう。すると、$x = 1$ の時には明らかに $$f_n(1) = 1 \longrightarrow \ 1, \ \ n\rightarrow \infty$$ であるのに対して、$0\leq x < 1$ の時には $x^n$ は $n$ を大きくすると $0$ に近付いていってしまいます。よって $$^\forall x\in [0, 1]: \ \lim _{n\rightarrow \infty}f_n(x) = 1_{\{1\}}(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & (x\neq 1)\\ 1 & (x = 1) \end{array} \right.$$ であり、$f_n$ は $1_{\{1\}}$ に各点収束しますが、極限関数は明らかに $I$ 上で連続ではありません。

さて、(3) をイプシロン・エヌ論法の言葉で言い換えてみましょう。 $$\begin{align*} ^\forall x\in I, \ ^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists N\in \mathbb {N} \ \ \mbox {s.t.} \ \ n \geq N \ \Longrightarrow \ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \tag {4} \end{align*}$$ 上に現れる $N$ という自然数は $x$ にも $ε$ にも依存しており、$x$ が変われば $N$ も変わり得る事になります。上の $f_n(x) = x^n$ の例で見てやると、$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon ,$ $^\forall n\geq N$ となるような $N$ として、例えば $\varepsilon , x\in (0, 1)$ に対して $$N(x) = \left\lfloor \frac{\log \varepsilon }{\log x}\right\rfloor + 1$$ が考えられますが²、$x$ を $1$ に近付けていくと、この $N(x)$ は限りなく大きくなってしまうので、$^\forall x\in [0, 1]$ に対して、あるいは $^\forall x\in (0, 1)$ に限ったとしても、$x$ に寄らない $N$ を統一的に与える事は、少なくともこのような方法では出来ません (実際、どのような方法でも不可能です)。

これは、§12 において、関数 $x\mapsto x^2$ の $\mathbb {R}$ 上での連続性 $$^\forall x\in \mathbb {R}, \ ^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists \delta > 0 \ \ \mbox {s.t.} \ \ ^\forall y\in \mathbb {R}, \ |y-x| < \delta \ \Longrightarrow \ |y^2 - x^2| < \varepsilon$$ を考えた時の状況に似ています。この場合、$\delta$ の候補として与えられる $$\delta (x) = \frac{\varepsilon}{2 + |x|}\wedge 1$$ について、$x\in \mathbb {R}$ に関する下限を取ると $0$ となってしまい、$\delta > 0$ を $x$ に寄らずに統一的に取る事が出来ない様子を見ました。

§12 では更に、通常の連続性とは別に関数の一様連続性の定義を与えました。それは、連続性に関するイプシロン・デルタ論法における定義 $$^\forall x\in I, \ ^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists \delta > 0 \ \ \mbox {s.t.} \ldots$$ において、$^\forall x$ の位置を変更して $$^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists \delta > 0 \ \ \mbox {s.t.} \ \ ^\forall x\in I, \ldots$$ とする、というものでした。これは即ち $\delta > 0$ が $x$ に寄らない共通の正値として取れる事を意味しています。例示した関数 $x \mapsto x^2$ は $\mathbb {R}$ 上で連続ですが一様連続ではありません。

関数列の収束についても同様に、(4) において $^\forall x$ の位置を $^\exists N$ の後に移動させる事を考えてみます。

一様収束性の定義を言い換えると以下のようになります (証明は各自)。

関数列の一様収束性の性質として、次の命題は基本的ですが重要です。

つまり、一様収束する連続関数列の極限関数は常に連続となります。逆に、上の例 $f_n(x) = x^n$ は各点収束はするものの極限関数 $1_{\{1\}}$ は $[0, 1]$ 上で連続ではないので、$f_n\longrightarrow 1_{\{1\}}$ は $[0, 1]$ 上で一様収束していません。これはまた「各点収束しても一様収束するとは限らない」という例を表しています。一方、「一様収束すれば各点収束」は正しい命題であり、つまり各点収束よりも一様収束の方が強い性質になっています。これは (普通の) 連続性と一様連続性の関係と同様です。

証明は、「十分大きな $n$ について $f_n$ と $f$ は $I$ 上でほとんど離れておらず、また $f_n$ の方は連続である」という事をイプシロン・デルタ論法によって表現してやれば出来ます。

命題 1 の証明. 任意の $x_0\in I$ について $\lim _{x\rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)$ である事を示す。 まず任意の $\varepsilon > 0$ を取ると、補題 1 からある $n\in \mathbb {N}$ が存在して $$\sup _{y\in I}|f_n(y) - f(y)| < \varepsilon$$ が成り立つ。また $f_n$ が $x_0$ において連続である事から、ある $\delta > 0$ が存在して $$^\forall x\in I, \ |x - x_0| < \delta \ ⟹ \ |f_n(x) - f_n(x_0)| < \varepsilon$$ となる。一方、三角不等式より $$\begin{align*} |f(x) - f(x_0)| &\leq |f_n(x) - f(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|\\ &\leq 2\sup _{y\in I}|f_n(y) - f(y)| + |f_n(x) - f_n(x_0)|\\ &< 2\varepsilon + |f_n(x) - f_n(x_0)| \end{align*}$$ が得られるので、特に $|x - x_0| < \delta$ なる $x\in I$ に対しては $$|f(x) - f(x_0)| < 2\varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon$$ が成立している。

なお、$J\subset I$ とする時、$I$ 上で一様収束する関数列は $J$ 上でも一様収束している事について一言補足しておきます。理由はほとんど明らかですが、「$J$ 上の上限」は常に「$I$ 上の上限」以下になるからです。

さて、収束半径を $R$ とする冪級数 (1) について、部分和が定める関数 (2) は $|x| < R$ である限り $n\rightarrow \infty$ の下で絶対収束していました。実は更に、命題 1 を使って、(1) は $(-R, R)$ 上で連続である事を示せます。その証明は次回紹介する事にして、ここではその証明に用いる以下の命題を示すのに留めます。

(5) は、§7 で登場した Cauchy 列の定義に良く似ています (この類似性についてはあとで「寄り道」としてもう少し考察します)。§7 では実数の連続性公理と同値な一つの性質として「Cauchy 列は収束する」という命題を紹介しました。上の命題 2 の証明はこの事実に基づいて行う事が出来ます。

命題 2 の証明. 任意の $x\in I$ を取り固定すると、(5) の仮定より実数列 $(f_n(x))_n\subset \mathbb {R}$ は Cauchy 列である事が分かるので、極限 $\lim _nf_n(x)\in \mathbb {R}$ が存在する。それを $f(x)$ と表す事にすると、$f_n$ は $f$ に $I$ 上で各点収束している事が分かる。よって特に、任意の $x\in I$ と任意の $m\in \mathbb {N}$ に対して $$\lim _{n\rightarrow \infty}|f_n(x) - f_m(x)| = |f(x) - f_m(x)| \tag {6}$$ が成立している³。

さて、任意の $\varepsilon > 0$ に対して (5) なる $N\in \mathbb {N}$ を取り、また $^\forall x\in I$, $^\forall m\geq N$ を取る。すると (5) から $$^\forall n \geq N :\ |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon$$ が得られる。そこで、(6) と §3 で紹介した補題⁴を使うと $$|f(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon$$ となる事が分かる。$x\in I$ は任意であったので、ここから更に $$\sup _{x\in I}|f(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon$$ が従う。

以上をまとめると $$^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists N\in \mathbb {N} \ \ \mbox {s.t.} \ \ m\geq N \ \Longrightarrow \ \sup _{x\in I}|f(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon$$ となるが、これは $f_n$ が $n\rightarrow \infty$ の下で $f$ に $I$ 上で一様収束している事を意味する。また命題 1 より $f\in C(I)$ も従う。

極限と積分の順序交換

前回やり残していた冪級数の性質の一つに、級数の和と微分の交換 $$\frac{d}{dx}\sum ^\infty _{n=0}a_nx^n = \sum ^\infty _{n=0}\frac{d}{dx}(a_nx^n)$$ がありました。これは、(1), (2) の記号を用いると $$\begin{align*} \frac{d}{dx}p(x) = \frac{d}{dx}\lim _{n\rightarrow \infty}p_n(x) = \lim _{n\rightarrow \infty}\frac{d}{dx}p_n(x) \end{align*}$$ の正当化、つまり「微分 $\frac{d}{dx}$ と極限 $\lim _{n\rightarrow \infty}$ の順序を交換して良い」事の証明を意味します。しかし、微分もまた極限によって与えられる概念である事に注意すると、これは「極限を取る順番を入れ替える」という操作の一種となってしまいます。そのような危険な事は一般にやってはいけません。簡単な例として、$m, n\in \mathbb {N}$ に対して $$\lim _{m\rightarrow \infty}\lim _{n\rightarrow \infty}\frac{m}{n} = 0 \neq \infty = \lim _{n\rightarrow \infty}\lim _{m\rightarrow \infty}\frac{m}{n}$$ であり、極限を取る順番を勝手に入れ替えるとおかしな事になってしまいます。

それでは、一般の微分可能な関数列 $(f_n)_n$ に対してどういう条件があれば $$\frac{d}{dx}\lim _{n\rightarrow \infty}f_n(x) = \lim _{n\rightarrow \infty}\frac{d}{dx}f_n(x) \tag {7}$$ という順序交換をして良いか、という事を考えたいのですが、そのための準備も兼ねて、まずは極限と積分の順序交換 $$\int ^b_a\lim _{n\rightarrow \infty}f_n(x)dx = \lim _{n\rightarrow \infty}\int ^b_af_n(x)dx \tag {8}$$ がいつ成り立つのかを考えてみましょう。 (8) は何らかの意味で $\lim _nf_n(x)$ が定義されていないと意味を持たないので、まずは $f(x) = \lim _nf_n(x)$ が、少なくとも各点収束の意味で定義されていて、有界閉区間 $I = [a, b]$ の上で Riemann 積分可能であるとします。すると、積分の三角不等式から $$\begin{align*} \left| \int ^b_af(x)dx - \int ^b_af_n(x)dx\right| &\leq \int ^b_a|f(x) - f_n(x)|dx\\ &\leq \int ^b_a\sup _{y\in I}|f(y) - f_n(y)|dx\\ &\leq (b-a)\sup _{y\in I}|f(y) - f_n(y)|\\ \end{align*}$$ が得られるので、もし $f_n$ が $f$ に $I$ 上で一様収束しているならば、上式右辺は $n\rightarrow \infty$ の下で $0$ に収束し、(8) の関係式が成立する事が分かります。更にこの場合、命題 1 より $f\in C(I)$ となるので、$f$ の $I$ 上の Riemann 積分可能性も自動的に従います (§14 の定理 2)。

以上の考察を定理の形でまとめておきます。

定理 1 から、一様収束するような連続関数列 $(f_n)_n$ に対しては (8) が成立する事が分かりますが、一様収束性はあくまでも (8) のための十分条件であり、一様収束していないような $(f_n)_n$ に対して (8) が成立する事もあります。例えば、上で扱った具体例 $f_n(x) = x^n$, $x\in I = [0, 1]$ は $I$ 上で各点収束しかしませんでしたが、しかし $$\lim _{n\rightarrow \infty}\int ^1_0x^ndx = \lim _{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1} = 0 = \int ^1_01_{\{1\}}(x)dx$$ は成立しています。

(8) が成立しないような連続関数列の例も一つ挙げておきます。$I = [0, 1]$ として $$f_n(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 2n^2x & \left(0\leq x < \frac{1}{2n}\right)\\ -2n^2x + n & \left(\frac{1}{2n}\leq x < \frac{1}{n}\right)\\ 0 & \left(\frac{1}{n}\leq x \leq 1\right) \end{array} \right.$$ と定義すると、各 $n\in \mathbb {N}$ について $f_n\in C(I)$ となり、また常に $$\int ^1_0f_n(x)dx = \frac{1}{2}$$ となる事が分かります⁵。一方、任意の $x\in (0, 1]$ に対して、$n\in \mathbb {N}$ を $1/x$ 以上となるように大きく取れば $f_n(x) = 0$ となる事、及び常に $f_n(0) = 0$ である事から、$f_n$ が $I$ 上で定数関数 $0$ に各点収束している事も分かるので、この場合は $$\int ^1_0\lim _{n\rightarrow \infty}f_n(x)dx = 0 \neq \frac{1}{2} = \lim _{n\rightarrow \infty}\int ^1_0f_n(x)dx$$ となり、(8) は成立しません。

なお、定理 1 では (§14 の冒頭で約束した通り) 暗に $a < b$ という前提を置いていますが、$a \geq b$ の時にも、定理 1 と同様の一様収束性に関する仮定の下で (8) が成り立つ事を付言しておきます。

極限と微分の順序交換

今度は定理 1 と微分積分学の基本定理を組み合わせて、(7) の関係式が成立するための十分条件を考えてみます。

$I$ を開区間とし、$(f_n)_n\subset C^1(I)$ とします。まず適当な $x_0\in I$ を取ると、微分積分学の基本定理 (§15 の定理 2) より、任意の $x\in I$ に対して $$f_n(x) = f_n(x_0) + \int ^x_{x_0}f'_n(y)dy \tag {9}$$ が得られます。この右辺第二項の積分のところに、上で導いた定理 1 を適用する事を考えます。そのためには、まず「$(f'_n)_n\subset C(I)$ が何らかの関数に一様収束する」という仮定を置くのが良さそうです。そこでとりあえず

1. ある関数 $g : I \longrightarrow \mathbb {R}$ が存在して、$f'_n$ が $I$ 上で $g$ に一様収束する。

としておきます。更に、(9) の右辺第一項の数列 $(f_n(x_0))_n$ が収束する事も仮定してしまいましょう。

2. ある $x_0\in I$ と $y_0\in \mathbb {R}$ が存在して $\lim_nf_n(x_0) = y_0$ が成り立つ。

1., 2. の仮定の下で、(9) の右辺において $n\rightarrow \infty$ の極限を取る事で、定理 1 を使って以下の式が得られます。 $$^\forall x\in I: \ \lim _nf_n(x) = y_0 + \int ^x_{x_0}g(y)dy \tag {10}$$ これにより、$f_n$ は $I$ 上で各点収束し、その極限関数 $f$ は $$f(x) = y_0 + \int ^x_{x_0}g(y)dy \tag {11}$$ と表される事が分かります。また、$g$ が $I$ 上で連続である事にも注意して、やはり微分積分学の基本定理 (今度は §15 の定理 1 を使います) から $$f'(x) = \frac{d}{dx}\int ^x_{x_0}g(y)dy = g(x) \tag {12}$$ となるので、特に $f\in C^1(I)$ であり $$f'(x) = \frac{d}{dx}\lim _{n\rightarrow \infty}f_n(x) = g(x) = \lim _{n\rightarrow \infty}f'_n(x)$$ つまり (7) が成り立つ事が分かりました。

以上の事から、上記の 1. と 2. が (7) のための十分条件である事が分かるのですが、上の計算を良く眺めてみると、実は $(f'_n)_n$ は $I$ 全体の上で一様収束していなくとも良く、以下のように 1. を弱める事が出来ます。

1’. ある関数 $g : I \longrightarrow \mathbb {R}$ が存在して、任意の有界閉区間 $J\subset I$ に対して $f'_n$ が $J$ 上で $g$ に一様収束する。

1’. が成り立つ時、$f'_n$ は $g$ に $I$ 上で広義一様収束すると言います⁶。1. と 1’. とではあまり違いが無いように見えるかもしれませんが、実際には大きな違いがあります。ここでもう一度、上で紹介した具体例 $f_n(x) = x^n$ を考えてみます。上では $f_n$ の定義域を $[0, 1]$ として、この上で $f_n$ が一様収束しない事を見ましたが、同様の理由により、定義域を $[0, 1)$ に制限したとしてもやはり $f_n$ は一様収束しません。一方で、任意の $0\leq a < 1$ に対して、$f_n$ は $[0, a]$ の上では $0$ に一様収束するので (何故でしょうか？)、$f_n$ は $[0, 1)$ 上で「一様収束はしないが広義一様収束はする」という事が分かります。

同様の事は一様連続性についても言えます。例えば、§12 で見たように、関数 $\mathbb {R}\ni x\mapsto x^2\in \mathbb {R}$ は $\mathbb {R}$ 上で一様連続ではありませんが、「任意の有界閉区間の上で一様連続」である事は §12 の定理 2 から分かります。もし仮にこの性質を広義一様連続と呼ぶ事にすれば、関数 $x\mapsto x^2$ は $\mathbb {R}$ 上で「一様連続ではないが広義一様連続である」と言えます⁷。

広義一様収束は一様収束よりも弱い概念ですが、一方で各点収束よりは強い概念であり、「広義一様収束するならば各点収束する」という性質があります⁸。よって、これらの収束性の定義に対して以下の関係が成り立ちます。

$$一様収束 \ \Longrightarrow \ 広義一様収束 \ \Longrightarrow \ 各点収束$$

以上を踏まえて、1’. と 2. の下での極限と微分の順序交換についてまとめておきます。

証明. まず $g$ は $I$ 上の連続関数である事に注意する。実際、任意の $x_1\in I$ について、ある $a, b\in I$ (但し $a < b$) が存在して $x_1\in [a, b]$ であるが、$[a, b]\subset I$ は有界閉区間であるため、1’. から $f'_n$ は $[a, b]$ 上で $g$ に一様収束する事が分かる。よって命題 1 より $g$ は $[a, b]$ 上で連続、特に $x_1$ で連続であり、$x_1\in I$ は任意であったので、$g\in C(I)$ である事が示される。

さて、任意の $x\in I$ を取ると、1’. より $f'_n$ は $[x_0\wedge x, x_0\vee x]$ 上で $g$ に一様収束するので、定理 1 から $$\lim _{n\rightarrow \infty}\int ^x_{x_0}f'_n(y)dy = \int ^x_{x_0}g(y)dy$$ が得られ、これと 2. を合わせて (10) を得る。よって、$f_n$ は (11) で定義される $f$ に $I$ 上で各点収束している事が分かる。$[x_0\wedge x, x_0\vee x]$ は $I$ の部分集合である事に注意して、§15 の定理 1 を使って (12) を得る⁹。これと 1’. より、$f'_n$ は $I$ 上で $f'$ に広義一様収束する事が示された。

最後に $f_n$ が $f$ に $I$ 上で広義一様収束する事を見ておく。$J\subset I$ を任意の有界閉区間とし、$a, b\in I$ を $J\cup \{x_0\}\subset [a, b] \ (\subset I)$ なる実数とする。この時、任意の $x\in J$ に対して、(9), (11) 及び三角不等式から $$\begin{align*} |f_n(x) - f(x)| \leq & |f_n(x_0) - y_0|\\ &+ \int ^{x\vee x_0}_{x\wedge x_0}|f'_n(y) - g(y)|dy\\ \leq & |f_n(x_0) - y_0|\\ &+ (b-a)\sup _{y\in [a, b]}|f'_n(y) - g(y)| \end{align*}$$ が成り立つ。よって、1’. と 2. から $$\begin{align*} \sup _{x\in J}|f_n(x) - f(x)| \leq & |f_n(x_0) - y_0|\\ &+ (b-a)\sup _{y\in [a, b]}|f'_n(y) - g(y)|\\ \longrightarrow & \ 0, \ \ n\rightarrow \infty \end{align*}$$ が示された¹⁰。

まとめ

今回は連続関数列の収束について扱いました。これまで見て来たように、連続関数列あるいは $C^1$-級関数列について、(広義) 一様収束性があれば「極限関数の連続性」のみならず「極限と微分積分の順序交換の可能性」が従い、「記号の順番を入れ替える」という操作も正当化されます。よって、今回の話を冪級数 (1) に適用するためには、(2) が収束半径の内側で広義一様収束している事を示せば良さそうです。

今回の結果を使うだけでは、冪級数が $C^1$-級である事しか示せないように思えるかもしれません。しかし、冪級数は「一階導関数もまた冪級数展開可能であり、収束半径も微分する前と変わらない」という性質があるため、定理 2 を繰り返し適用する事によって「何回でも微分出来る (そして全ての導関数が冪級数表示出来る)」事を示せます。具体的な証明は次回見て行きたいと思います。

寄り道: 有界閉区間上の連続関数が定める空間

命題 2 において、関数列 $(f_n)_n\subset C(I)$ に対する (5) の性質は実数列における Cauchy 列の定義と似ている、と述べました。実は $I$ が有界閉区間¹¹である時には、(5) を満たす関数列を「無限次元空間¹² $C(I)$ における Cauchy 列」として数学的に扱う事が出来て、更に「Cauchy 列は収束する」という、実数空間の完備性 (§7 の命題 2) の連続関数空間バージョンとも言える性質を導く事が出来ます。

実数列 $(a_n)_n\subset \mathbb {R}$ が以下を満たす時、$(a_n)_n$ を Cauchy 列と呼ぶのでした。 $$^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists N\in \mathbb {N}\ \ \mbox {s.t.} \ \ m, n\geq N \ \Longrightarrow \ |a_n - a_m| < \varepsilon \tag {12}$$ これは「$m, n$ を十分大きくすれば、実数 $a_m$ と $a_n$ をいくらでも近付けられる」という事を表していますが、その際に「$a_m$ と $a_n$ がどれだけ離れているのか」を計測するために、($a_m$ と $a_n$ の差の) 絶対値が使われています。

それに対して、(5) では「$f_m$ と $f_n$ がどれだけ離れているのか」を見るために「(関数 $f_m$ と $f_n$ の差の) 絶対値の上限」が使われています。そこで、連続関数 $f\in C(I)$ に対して以下の記号を導入します。 $$||f||_\infty := \sup _{x\in I}|f(x)|$$ より正確に言うと、$||\cdot ||_\infty : C(I)\longrightarrow [0, \infty)$ という関数 (写像) を上で定義しよう、という話なのですが、§12 の命題 1 または定理 1 より任意の $f\in C(I)$ に対して $||f||_\infty < \infty$ である事が分かるので、$||\cdot ||_\infty$ は発散する事無く、実数値関数として (但し定義域を $C(I)$ として) 定める事が出来ます。この記号を用いると、(5) を次のように言い換える事が出来ます。 $$^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists N\in \mathbb {N}\ \ \mbox {s.t.} \ \ m, n\geq N \ \Longrightarrow \ ||f_n - f_m||_\infty < \varepsilon$$ こうすると、(12) との類似性をより強く感じられると思います。つまり、(12) において距離を測るために使っていた絶対値を $||\cdot ||_\infty$ というものに置き換えただけで、あとは実数列における Cauchy 列の定義と見た目の上では全く同じになっています。そこで、(5) を満たす関数列 $(f_n)_n$ を「$||\cdot ||_\infty$ の下での Cauchy 列」と呼ぶ事にします。

命題 2 によると、「$||\cdot ||_\infty$ の下での Cauchy 列」は何らかの連続関数に対して一様収束するのでした。「$f_n$ の $f$ への一様収束」を、補題 1 に従って $||\cdot ||_\infty$ を使って書き換えると以下のようになります。 $$^\forall \varepsilon > 0, \ ^\exists N\in \mathbb {N}\ \ \mbox {s.t.} \ \ n\geq N \ \Longrightarrow \ ||f_n - f||_\infty < \varepsilon$$ これもまた、実数列の収束の定義において絶対値の部分を $||\cdot ||_\infty$ に置き換えたものと全く同じ表記になっています。そうすると、関数の一様収束とは「$||\cdot||_\infty$ の下での収束」の事であり、その意味で、一般の連続関数列 $(f_n)_n\subset C(I)$ に対して「Cauchy 列は収束列である」という「完備性」が命題 2 によって示されているという事になります。

実は $||\cdot ||_\infty$ は一様ノルム (uniform norm) あるいは sup ノルムと呼ばれるものであり、集合 $C(I)$ と一様ノルムを合わせた空間 $(C(I), ||\cdot ||_\infty)$ は Banach 空間と呼ばれる完備な (線形) 空間の一種になっています。

これまで実数値連続関数の様々な性質を見てきましたが、上のように見てやる事で、「実数と実数を対応させる関数」をあたかも一つの点のようにみなす事が出来ます。そうすると、連続関数列を扱う際にも、あたかも普通の実数の数列のように扱う事が出来ますし、「実数と実数を対応させる関数」と同様の感覚で「連続関数と実数を対応させる関数 (写像)」を扱う事も出来そうです。実際、$I = [a, b]$ 上の連続関数 $f\in C(I)$ に対して Riemann 積分 $\int ^b_af(x)dx$ を実数値として定義出来る事を §14 で示しましたが、見方を変えるとこの積分もまた「$C(I)$ の元に実数を対応付ける関数 (写像)」あるいは「$C(I)$ 上で定義された実数値関数」と見る事が出来ます。 $$\mathcal {I}: C(I) \ni f \longmapsto \int ^b_af(x)dx\in \mathbb {R}$$ あるいは、連続関数の不定積分を「$C(I)$ 上で定義された $C(I)$ に値を取る関数 (写像)」とも捉えられそうです。 $$C(I) \ni f \longmapsto \int ^\cdot _af(x)dx\in C(I)$$ 更に、例えば「積分関数 (写像)¹³」$\mathcal {I}$ 自体の連続性の概念を与えて (実際に $\mathcal {I}$ は連続になります)、その連続性を使って更に解析を (通常の実数値連続関数を扱うのと同じように) 深めていく事も考えられるでしょう。

このような視点に立って、様々な (無限次元線形) 空間の構造やその上で定義された写像の性質を調べる数学の分野は関数解析学 (functional analysis) として知られています。本講座で扱ってきた実数空間あるいは実数値関数の性質は、中には $\mathbb {R}$ という空間特有の性質に基づいているものも少なからずありますが、一般の (無限次元線形) 空間においてもそのまま (一般化されて) 成り立つ性質も多く存在します。また、より一般化・抽象化された数学的対象に対して、冪級数を構成したり、指数関数を定義したり…という事も考えられます。

なお、上述のような視点から見た場合、実は「積分」よりも「微分」の方が扱いにくい場合が多くあるのですが、それについてはまた別の機会に、雰囲気だけでもお伝え出来ればと思います。